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  • POJ 1006 Biorhythms

    POJ 1003,1004,1005 比较简单,很快就解决了。有个小插曲,刚开始做ACM不太懂,最近提交问题反馈最多的就是Runtime Error,开始我以为是超时,1方面我怀疑是否是Java跑得太慢了,然后去了解发现有些国际大赛推荐用java,那说明java本身是不慢的。另外一方面我怀疑是我程序太烂,每次都很耗时,所以每次遇到Runtime Error问题就去优化代码,但有时候怎样优化都不行。在做POJ1005的时候,网上的代码贴上去AC了,但是我的不行,但两个程序已完全1样了,这个时候才发现罪魁罪魁是我提交时总是带着包名(有时候手动是去了的)。

    POJ 1006这个题目我虽然能提交通过,但我的方法更多的算暴力破解。

    import java.util.Scanner;

    public class Main {
    public static void main(String[] args){
    Scanner scanner = new Scanner(System.in);
    for(int j=1; j<Integer.MAX_VALUE; j++){
    int p = scanner.nextInt() % 23;
    int e = scanner.nextInt() % 28;
    int i = scanner.nextInt() % 33;
    int d = scanner.nextInt();

    if(p==⑴ && e==⑴ && i==⑴ && d==⑴) return;

    for(int number=0; number<=21252+d; ){
    if(p == number % 23){
    if(e == number % 28){
    if(i == number % 33) {
    if (number-d <= 0)
    number += 21252;
    System.out.println("Case "+j+": the next triple peak occurs in "+ (number-d) +" days.");
    break;
    } else
    number += 23*28;
    } else
    number += 23;
    } else
    number ++;
    }
    }
    }
    }

    解题的关键是从复杂错乱的描写中抽象出问题的本质,也就是将现象转化为数学问题。POJ1006这个问题的难点是背后的数学问题――中国剩余定理。

    1个数除3余2,除5余3,除7余2。可以用初等数论中的同余方程组来求解,利用同余的符号,可以将上述问题转化为下面的同余方程组:
    x ≡ 2 (mod 3);
    x ≡ 3 (mod 5);
    x ≡ 2 (mod 7);
    不难看出上述同余方程组的解其实不唯1,由于如果x是1个解,则x+3*5*7*k=x+105k也是该同余方程组的1个解。事实上,从3,5,7两两互质可知上述同余方程组的任意两个解相差105的倍数。如何求出上述同余方程组最小的那个解呢?我们的先人聪明的把问题转化为以下3个非常特殊的同余方程组的求解
    a ≡ 1 (mod 3); b ≡ 0 (mod 3); c ≡ 0 (mod 3);
    a ≡ 0 (mod 5); b ≡ 1 (mod 5); c ≡ 0 (mod 5);
    a ≡ 0 (mod 7); b ≡ 0 (mod 7); c ≡ 1 (mod 7);
    则2a+3b+2c就是原同余方程组的1个解(即2a+3b+2c是被3除余a,被5除余b,被7除余c的数),如果这个数小于105,则即为所求的最小整数解。经过简单计算可知a可以取70,b可以取21,c可以取15。计算可得2a+3b+2c=233,除以105后的余数23就是所求的最小正整数解。

    回到POJ1006这个题目,已知number % 23 = p,number % 28 = e,number % 33 = i
    使33*28*a被23除余1,可得5544  = 33*28*6
    使23*33*b被23除余1,可得14421 = 23*33*19
    使23*28*c被33除余1,可得1288  = 23*28*2
    因此有(5544*p + 14421*e + 1288*i) % lcm(23, 28, 33) = number
    又由于23,28,33互质,所以lcm(23, 28, 33) = 21252。所以number = (5544*p + 14421*e + 1288*i) % 21252,所求的是number-d,本题求的是最小整数解,避免n为负数需要在number-d<=0的时候加21252。

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