卡特兰数

Catalan数的定义:

 

表示用下面的方法把凸多边形区域分成3角形区域的方法数:在有n+1条边的凸多边形区域内通过插入在其中不相交的对角线而把它分成3角形区域。定义。则满足递推关系

         

              

 

这个递推关系的解是:,这里的叫做Catalan数

 

 

那末上面的递推式的正确性我们可以简单描写1下便可:

证明:这里由于表示依照上述规则划分的3角形区域个数,那末我们随意选1条多边形的1条边作为基边,那末

     再在剩余的n⑴个点当选1个点,我们把所选的1条边的两点分别与所选的那1点连接起来,那末多边形被划

     分成3部份,1部份有k+1条边,1部份有3条边,另外一部份有n-k+1条边,那末这样就划分成了子问题了,所

     以依照这个思路可以证明递推式成立。

 

那末根据递推式是如何推出Catalan数的通项公式呢?

 

这里用到了生成函数:我们很容易写出的生成函数

 

我们进1步计算

 

 

由于有:,所以进1步得到:

 

,由于

 

所以有:,解之得到:

 

,另外一个解不符合,舍去。

 

那末根据牛顿2项式有:

 

 

 

那末带入化简得到:

 

 

那末我们终究得到:

 

所以:,这就是Catalan的推导进程

 

 

 

卡特兰数的利用

      

1、括号化问题

 

矩阵连乘:,根据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,问有几种括号化的方案?

       

 

2、出栈次序问题

 

1个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

 

 

类似问题

 

a、有2n个人排成1行进入剧院,入场费5元。其中只有n个人有1张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

 

b、n个1和n个0组成1个2n位的2进制数,要求从左到右扫描,0的累计数不小于1的累计数,求满足条件的的数。

 

c、12个人排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第2排比对应的第1排的人高,问排列方式有多少种?

我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第1排,那末剩下的6个肯定是在第2排.用0表示对应的人在第1排,用1表示对应的人在第2排,那末含有6个0,6个1的序列,就对应1种方案.

比如000000111111就对应着
           

第1排:0 1 2 3 4 5
第2排:6 7 8 9 10 11
010101010101就对应着
第1排:0 2 4 6 8 10
第2排:1 3 5 7 9 11问题转换为,这样的满足条件的01序列有多少个。与情况b1样。

 

3、给定节点组成2叉树的问题

 

给定N个节点,能构成多少种形状不同的2叉树?

先取1个点作为顶点,然后左侧顺次可以取0至N⑴个相对应的,右侧是N⑴到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n⑴) + h(2)*h(n⑵) +  + h(n⑴)h(0)=h(n))能构成h(N)个

     

4.n*n棋盘从左下角走到右上角而不穿过主对角线的走法

 

5.n个+1和n个⑴构成的2n项序列,其部份和总满足:的序列的个数。

 

Catalan数的高精度处理:利用递归式: h(n)=((4*n⑵)/(n+1))*h(n⑴)

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cmath>
using namespace std;

int a[105][105]; //大数卡特兰数
int b[105]; //卡特兰数的长度

void catalan() //求卡特兰数
{
int i,j,len,carry,temp;
a[1][0]=b[1]=1;
len=1;
for(i=2;i<=100;i++)
{
for(j=0;j<len;j++) //乘法
a[i][j]=a[i⑴][j]*(4*(i⑴)+2);
carry=0;
for(j=0;j<len;j++) //处理相乘结果
{
temp=a[i][j]+carry;
a[i][j]=temp%10;
carry=temp/10;
}
while(carry) //进位处理
{
a[i][len++]=carry%10;
carry/=10;
}
carry=0;
for(j=len⑴;j>=0;j–) //除法
{
temp=carry*10+a[i][j];
a[i][j]=temp/(i+1);
carry=temp%(i+1);
}
while(!a[i][len⑴]) //高位零处理
len–;
b[i]=len;
}
}

int main()
{
int i,n;
catalan();
while(~scanf("%d",&n),n)
{
for(i=b[n]⑴;i>=0;i–)
printf("%d",a[n][i]);
printf("
");
}
return 0;
}

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