欧拉函数

先来介绍几个与欧拉函数有关的定理:


定理1:设m与n是互素的正整数,那末


定理2:当n为奇数时,有

 

由于2n是偶数,偶数与偶数1定不互素,所以只斟酌2n与小于它的奇数互素的情况,则恰好就等于n的欧拉函数值。


定理3:设p是素数,a是1个正整数,那末

 

关于这个定理的证明用到容斥:

 

由于表示小于互素数的正整数个数,所以用减去与它不互素的数的个数就好了。

那末小于不互素数的个数就是p的倍数个数,有个。所以定理得证。



定理4:设为正整数n的素数幂分解,那末

 


 

这个定理可以根据定理1和定理3证明,其实用到的就是容斥。如果对容斥熟习,其实完全就能够直接容斥。



定理5:设n是1个正整数,那末

 


 

这个其实可以看莫比乌斯反演就明白了。


定理6:设m是正整数,(a,m)=1,则:是同于方程的解。


定理7:如果n大于2,那末n的欧拉函数值是偶数。



求欧拉函数值:

int phi(int n)
{
int i,rea=n;
for(i=2;i*i<=n;i++)
{
if(n%i==0)
{
rea=rea-rea/i;
while(n%i==0) n/=i;
}
}
if(n>1)
rea=rea-rea/n;
return rea;
}

利用递推法求欧拉函数值:

 

算法原理:开始令i的欧拉函数值等于它本身,如果i为偶数,可以利用定理2变成求奇数的。

若p是1个正整数满足,那末p是素数,在遍历进程中如果遇到欧拉函数值等于本身的情况,那末

说明该数为素数。把这个数的欧拉函数值改变,同时也把能被该素因子整除的数改变。

void phi()
{
for(int i=1; i<N; i++) p[i] = i;
for(int i=2; i<N; i+=2) p[i] >>= 1;
for(int i=3; i<N; i+=2)
{
if(p[i] == i)
{
for(int j=i; j<N; j+=i)
p[j] = p[j] – p[j] / i;
}
}
}

波比源码 – 精品源码模版分享 | www.bobi11.com
1. 本站所有资源来源于用户上传和网络,如有侵权请邮件联系站长!
2. 分享目的仅供大家学习和交流,您必须在下载后24小时内删除!
3. 不得使用于非法商业用途,不得违反国家法律。否则后果自负!
4. 本站提供的源码、模板、插件等等其他资源,都不包含技术服务请大家谅解!
5. 如有链接无法下载、失效或广告,请联系管理员处理!
6. 本站资源售价只是赞助,收取费用仅维持本站的日常运营所需!
7. 如遇到加密压缩包,请使用WINRAR解压,如遇到无法解压的请联系管理员!

波比源码 » 欧拉函数

发表评论

Hi, 如果你对这款模板有疑问,可以跟我联系哦!

联系站长
赞助VIP 享更多特权,建议使用 QQ 登录
喜欢我嘛?喜欢就按“ctrl+D”收藏我吧!♡